1.定义

物理量：物理量是指物质、物体、系统、现象、事件、过程、转换、关系或物质的一个方面的定量表征。它能够通过严格的操作性定义（即可观察、可测量、可操作）来度量，并进而可以量化。

简单来说，物理量就是物理学中可以被测量和用数值来描述的“性质”或“特征”。

单位：单位是用于衡量某一特定物理量的标准量值。它是用来和待测量物理量进行比较的参照标准。

2.性质

物理量通常表示为一个数值和一个单位的乘积，即：$$Z={Z}[Z]$$

其中 $Z$ 是物理量，${Z}$ 是其数值（一个纯数），$[Z]$ 是其单位。

3.定义

量纲：量纲是物理量的基本属性，它定性地描述了导出量与基本量之间的关系。它只关注物理量的本质类别，而不关注其具体数值和单位。

4.已知

一个物理量的量纲可以表示为七个基本量纲的乘积。这七个基本量纲对应着物理学中的七个基本物理量：

• 长度 (L)
• 质量 (M)
• 时间 (T)
• 电流 (I)
• 热力学温度 (Θ)
• 物质的量 (N)
• 发光强度 (J)

5.性质

幂次律：对于任意一个物理量 A，它的量纲可以表示为 dim(A)。我们可以用以下形式来表示：$$dim(A)=L^aM^bT^cI^dΘ^eN^fJ^g$$

其中 a,b,c,d,e,f,g 都是有理数，称为量纲指数。

一致性：每个物理公式中相加量的量纲必须一致，称为一致性。如果违反，则公式一定是错误的。

6.定义

物理公式：物理公式是运用数学符号、物理量和运算规则，定量地描述物理量之间相互关系的数学表达式。

7.物理学第零定理

物理规律与尺度选择无关，物理公式形式不变而仅变系数。

这意味着物理定律的本质是独立的，不依赖于我们选择的单位系统。当我们改变单位时，公式的形式保持不变，只有其中的常数系数会发生变化。

8.白金汉 Π 定理

如果一个物理定律可以由 n 个物理量 $q_1​,q_2​,…,q_n$​ 来描述，即存在一个函数关系 $f(q_1​,q_2​,…,q_n​)=0$，并且这 n 个物理量可以用 k 个独立的基本量纲（例如，质量 M、长度 L、时间 T 等）来表示，那么这个物理关系可以被简化为只包含 p=n−k 个独立的无量纲量（或称为 Π 群）的函数关系。

数学上，其形式可以表示为：$$Φ(Π_1​,Π_2​,…,Π_{n−k}​)=0$$

其中：

• k≤7，对应于国际单位制中的七个基本量纲

9.推理

步骤 1: 向量表示量纲

假设有 n 个物理量 $q_1​,q_2​,…,q_n$​ 描述一个物理现象。

这些物理量涉及到 k 个基本量纲，我们设为 $D_1​,D_2​,…,D_k$​（例如，长度 L，质量 M，时间 T 等）。

每个物理量 qj​ 的量纲可以表示为基本量纲的乘积：$$ \text{dim}(q_j) = D_1^{a_{1j}} D_2^{a_{2j}} \cdots D_k^{a_{kj}} $$

我们可以将每个物理量 $q_j$​ 的量纲表示为一个 k 维列向量 $v_j$，其中分量是基本量纲的指数：

$$\mathbf{v_j} = \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{pmatrix}$$

步骤 2：量纲矩阵 A

我们将所有 n 个物理量的量纲向量组合起来，形成一个 k×n 的量纲矩阵 A:

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \end{pmatrix} $$

矩阵 A 的列是各个物理量的量纲向量。

步骤 3：无量纲量的条件

一个无量纲量 Π 可以表示为 n 个物理量 $q_1​,q_2​,…,q_n$​ 的乘积形式：$$\Pi = q_1^{x_1} q_2^{x_2} \cdots q_n^{x_n}$$

为了使 Π 无量纲，其量纲必须为 1（即所有基本量纲的指数都为 0）。

$$\dim(\Pi) = \dim(q_1^{x_1} q_2^{x_2} \cdots q_n^{x_n})$$ $$= \dim(q_1)^{x_1} \dim(q_2)^{x_2} \cdots \dim(q_n)^{x_n}$$ $$= (D_1^{a_{11}} \cdots D_k^{a_{k1}})^{x_1} (D_1^{a_{12}} \cdots D_k^{a_{k2}})^{x_2} \cdots (D_1^{a_{1n}} \cdots D_k^{a_{kn}})^{x_n}$$ $$= D_1^{(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n)} \cdots D_k^{(a_{k1}x_1 + a_{k2}x_2 + \cdots + a_{kn}x_n)}$$

要使 Π 无量纲，每个基本量纲的指数必须为零：

$$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0$$$$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0$$$$\vdots$$$$a_{k1}x_1 + a_{k2}x_2 + \cdots + a_{kn}x_n = 0$$

这可以写成矩阵形式：$$Ax = 0$$

其中

$$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$

这是一个 n 维列向量，其分量 $x_j$​ 是形成无量纲量 Π 的指数。

步骤 4：矩阵的零空间

方程 Ax=0 的解空间被称为矩阵 A 的零空间，记为 Null(A)。零空间中的每一个非零向量 x 都对应一个无量纲量 Π。

根据线性代数中的秩-零化度定理 ：

rank(A)+nullity(A)=n

其中：

• nullity(A) 是矩阵 A 的零空间的维数，它表示方程 Ax=0 的线性无关解的数量。每一个线性无关的解向量都对应一个独立的无量纲量。

由此定理，我们可以得到独立无量纲量的数量 p：

p=nullity(A)=n−rank(A)

很明显 rank(A)=k。

所以，p=n−k。

这意味着，存在 p=n−k 个线性无关的向量 $x_1​,x_2​,…,x_{n−k}$​ 构成了零空间的一组基。每一个这样的向量 $x_i$​ 都对应着一个独立的无量纲量 $Π_i$​。

因此，任何一个描述物理现象的函数关系 $f(q_1​,q_2​,…,q_n​)=0$ 都必须能够被表示为这些独立的无量纲量之间的函数关系：$$Φ(Π_1​,Π_2​,…,Π_{n−k}​)=0$$

10.后记

这是我第一次用latex(或者说用到了把代码渲染成数学公式的手段，毕竟我只用到了渲染公式，没有用到latex最为著名的排版功能)来书写一篇较稳完整的笔记，引擎采用katex。

必须承认这对于新手的我来说是相当有挑战的事情，尤其是wordpress的云端编辑对于数学语言并不友好，很多快捷键（比如自动加\$\$）都没有办法是用，其中很多复杂符号我还要一个一个找，这就让讨厌打字的站主相当痛苦。毕竟站主之前绝大部分公式都是手写，现在ai这么发达，我本来想形成一套手写转latex代码的工作流，但是具体内容很多都要微调，而且步骤复杂（众所周知，站主极力避免过于冗长的步骤，除非步骤是有乐趣的，很明显，不断拍照上传并没有乐趣），所以最后还不如打代码，这个体验感真的比手写差太多了。怎么说呢？没有很流畅的数学漫游的感觉。

基于这一点，我的建议是这是一项专用于展示的（或者说宣传）技术。思路是可以现在适配latex插件的obsidian编辑再拷贝到站点来。后续希望更加熟悉语法和编辑，让源文本看上去更加规范一点。

文章出现了很多格式问题，实属站主无奈之举，欢迎提出。